بهره مرکب یا سود مرکب، بهره ای است که بر اساس سرمایه اولیه محاسبه شده، و شامل تمام سود انباشت دوره های قبلی در یک سپرده یا وام می شود. هر چه تعداد دوره های انباشت بیشتر باشد، بهره مرکب بیشتر خواهد بود.
تعریف بهره مرکب
بهره مرکب، سود وام یا سپرده ای است که بر اساس سرمایه اولیه و سود انباشته دوره های قبل محاسبه می شود. تصور میشود بهره مرکب از قرن هفدهم و از ایتالیا آغاز شده باشد و میتوان آن را به عنوان «بهره ی بهره» در نظر گرفت که باعث میشود مبلغ سود با نرخی سریعتر از سود معمولی که فقط بر اساس سرمایه اصلی محاسبه میشود، رشد کند.
نرخ بهره مرکب به نرخ انباشت بستگی دارد، به طوری که هر چه تعداد دوره های انباشت بیشتر باشد، بهره مرکب بیشتر می شود. بنابراین، میزان سود مرکب تعلق گرفته بر روی 100 دلار با نرخ انباشت 10 درصد سالانه، کمتر از سود 100 دلار با نرخ انباشت 5 درصد شش ماهه در همان دوره زمانی خواهد بود. از آنجایی که اثر بهره روی بهره می تواند بازده مثبت فزاینده ای را بر اساس مبلغ اصلی اولیه ایجاد کند، گاهی اوقات از نرخ انباشت به عنوان “معجزه بهره مرکب” یاد می شود.
نکات کلیدی پیرامون بهره مرکب
- بهره مرکب بهره ای است که بر اساس سرمایه اولیه محاسبه می شود، و شامل تمام سود انباشته دوره های قبلی در یک سپرده یا وام نیز می شود.
- بهره مرکب با ضرب مبلغ سرمایه اولیه در یک به علاوه نرخ بهره سالانه افزایش یافته به توان دوره های مرکب منهای یک محاسبه می شود.
- بهره را می توان در هر برنامه زمانی معین، از پیوسته گرفته تا روزانه تا سالانه، انباشته کرد.
- هنگام محاسبه بهره مرکب، تعداد دوره های انباشتتفاوت قابل توجهی ایجاد می کند.
ساز و کار بهره مرکب چگونه است
بهره مرکب با ضرب مبلغ سرمایه اولیه در یک به علاوه نرخ بهره سالانه افزایش یافته به توان دوره های مرکب منهای یک محاسبه می شود. سپس کل مبلغ اولیه وام از ارزش حاصله کم می شود.
فرمول محاسبه مقدار بهره مرکب به شرح زیر است:
بهره مرکب = کل مبلغ اصل و سود در آینده (یا ارزش آتی) منهای مبلغ اصلی فعلی (یا ارزش فعلی)
= [P (1 + i)n] – P
= P [(1 + i)n – 1]
به طوری که:
P = اصل سرمایه
i = نرخ سود اسمی سالانه بر حسب درصد
n = تعداد دوره های ترکیب
یک وام سه ساله به مبلغ 10000 دلار با نرخ بهره 5 درصد را در نظر بگیرید که نرخ انباشته سالانه دارد. میزان بهره چقدر خواهد بود؟ در این صورت خواهیم داشت:
= $ 10000 [1.157625 – 1] = $ 1,576.25 [ 1–3 )0.05 +1 )] 10000 $
چگونه بهره مرکب افزایش پیدا می کند
از آنجایی که بهره مرکب شامل سود انباشته شده در دوره های قبلی است، با نرخی فزاینده رشد می کند. در مثال بالا، اگرچه کل سود قابل پرداخت در دوره سه ساله این وام 1,576.25 دلار است، اما میزان بهره برای هر سه سال یکسان نیست، همانطور که بهره ساده این گونه نیست.
بهره مرکب می تواند به طور قابل توجهی بازده سرمایه گذاری را در دراز مدت افزایش دهد. در حالی که یک سپرده 100,000 دلاری که 5٪ سود سالانه دریافت می کند، 50,000 دلار سود در طول 10 سال به دست می آورد، سود مرکب سالانه 5٪ برای 10,000 دلار به 62,889.46 دلار در مدت مشابه می رسد. اگر دوره انباشته در همان دوره 10 ساله ماهانه با بهره مرکب 5 درصد پرداخت می شد، سود کل به 64700.95 دلار افزایش می یافت.
برنامه های زمانی بهره مرکب
بهره را می توان در هر برنامه زمانی معین، از روزانه تا سالانه، انباشته کرد. جدولهای زمانی سود انباشته استانداردی وجود دارد که معمولاً برای ابزارهای مالی اعمال میشوند.
برنامه بهره ای انباشته رایج برای حساب های پس انداز در بانک ها روزانه است. برای گواهی سپرده (CD)، برنامههای بهره ای انباشته، روزانه، ماهانه یا شش ماهه هستند. برای حساب های بازار پول، اغلب روزانه است. برای وامهای رهنی مسکن، وامهای سهام مسکن، وامهای تجاری شخصی، یا حسابهای کارت اعتباری، رایجترین برنامه ترکیبی که اعمال میشود ماهانه است.
همچنین ممکن است تغییراتی در بازه زمانی وجود داشته باشد که در آن سود تعلق گرفته واقعاً به مانده موجود بستانکار شود. سود یک حساب ممکن است روزانه انباشته شود اما فقط به صورت ماهانه بستانکار شود. تنها زمانی که سود واقعاً بستانکار می شود، یا به موجودی اضافه می شود، شروع به کسب سود اضافی در حساب می کند.
برخی از بانک ها نیز چیزی به نام سود مرکب پیوسته ارائه می دهند که در هر لحظه ی ممکن، سود را به اصل سرمایه اضافه می کند. برای اهداف عملیاتی، سود تعلق گرفته بیشتر از سود مرکب روزانه نیست، مگر اینکه بخواهید در همان روز پول بگذارید و آن را خارج کنید. انباشت بیشتر سود برای یک سرمایه گذار یا اعتبار دهنده سودمند است. اما برای یک وام گیرنده، ماجرا برعکس است.
دوره های انباشت
هنگام محاسبه بهره مرکب، تعداد دوره های انباشت تفاوت قابل توجهی ایجاد می کنند. قانون کلی این است که هر چه تعداد دوره های انباشت بیشتر باشد، مقدار بهره مرکب بیشتر است.
جدول زیر تفاوتی را نشان می دهد که تعداد دوره های ترکیبی می تواند برای یک وام 10000 دلاری با نرخ بهره سالانه 10 درصد در یک دوره 10 ساله ایجاد کند. دوره های انباشت بیشتر به معنای بهره مرکب بیشتر است، اما تناوب، بازدهی را کاهش داده است. این مثال سود تعلق گرفته به وام 10000 دلاری را نشان می دهد که سالانه 10 درصد برای چهار دوره مختلف در 10 سال انباشت می شود.
ملاحظات خاص
بهره مرکب ارتباط نزدیکی با ارزش زمانی پول و قانون 72 دارد که هر دو مفاهیم مهمی در سرمایه گذاری هستند.
در نظر گرفتن ارزش زمانی پول
درک ارزش زمانی پول و رشد تصاعدی ایجاد شده به واسطه انباشت برای سرمایه گذارانی ضروری است که به دنبال بهینه سازی درآمد و تخصیص ثروت خود هستند.
فرمول بدست آوردن ارزش آتی (FV) و ارزش فعلی (PV) به شرح زیر است:
FV = PV (1 +i)n and PV = FV / (1 + i) n
به عنوان مثال، ارزش آتی 10000 دلار به مدت سه سال سالانه 5٪ ترکیب می شود:
= $10,000 (1 + 0.05)3
= $10,000 (1.157625)
= $11,576.25
ارزش فعلی 11576.25 دلار با 5 درصد تخفیف برای سه سال:
= $11,576.25 / (1 + 0.05)3
= $11,576.25 / 1.157625
= $10,000
متقابل 1.157625 که برابر با 0.8638376 است، عامل تخفیف در این نمونه است.
ملاحظات قانون 72
قانون 72 زمان تقریبی را محاسبه می کند که طی آن یک سرمایه گذاری با نرخ بازده یا بهره معین “i” دو برابر می شود و با (i/72) داده می شود. این فقط می تواند برای انباشت سالانه استفاده شود.
به عنوان مثال، سرمایهگذاری که نرخ بازدهی سالانه 6 درصدی دارد در 12 سال دو برابر میشود. بنابراین یک سرمایه گذاری با نرخ بازده سالانه 8 درصد در 9 سال دو برابر خواهد شد.
نرخ رشد مرکب سالانه (CAGR)
نرخ رشد مرکب سالانه (CAGR) برای اکثر برنامه های مالی که نیاز به محاسبه نرخ رشد واحد در یک دوره زمانی دارند استفاده می شود.
فرض کنید سبد سرمایه گذاری شما از 10000 دلار به 16000 دلار در طول پنج سال افزایش یافته است. CAGR چیست؟ اساساً بدان معناست که PV = -10000 ، FV = 16000 دلار و t = 5، بنابراین متغیر “i” باید محاسبه شود. با استفاده از یک ماشین حساب مالی یا اکسل می توان نشان داد که i = 9.86٪ است.
- نکته: طبق قرارداد جریان نقدی، سرمایه گذاری اولیه شما (PV) 10000دلاری با علامت منفی نشان داده می شود زیرا نشان دهنده خروج وجوه است. PV و FV لزوماً باید دارای علائم متضاد برای حل “i” در معادله بالا باشند.
کاربردهای CAGR در دنیای واقعی
CAGR به طور گسترده برای محاسبه بازده در بازه های زمانی سهام، صندوق های سرمایه گذاری مشترک و پرتفوی سرمایه گذاری استفاده می شود. CAGR همچنین برای تعیین اینکه آیا یک مدیر صندوق سرمایه گذاری مشترک یا مدیر پورتفولیو از نرخ بازده بازار در یک دوره زمانی فراتر رفته است یا خیر استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر یک شاخص بازار کل، بازده 10 درصد را در یک دوره پنج ساله ارائه کرده باشد، اما یک مدیر صندوق تنها بازده سالانه 9 درصد را در مدت مشابه ایجاد کرده باشد، مدیر عملکرد ضعیفی در بازار داشته است.
CAGR همچنین می تواند برای محاسبه نرخ رشد مورد انتظار پرتفوی سرمایه گذاری در دوره های زمانی طولانی استفاده شود که برای اهدافی مانند پس انداز برای بازنشستگی مفید است. به مثال های زیر توجه کنید:
مثال 1: یک سرمایه گذار ریسک گریز از بازده متوسط 3 درصدی سالانه پرتفوی خود راضی است. بنابراین، پورتفولیوی 100000 دلاری او پس از 20 سال به 180611 دلار خواهد رسید. در مقابل، یک سرمایهگذار ریسک پذیر که انتظار دارد بازدهی سالانه 6% در پرتفوی خود داشته باشد، پس از 20 سال شاهد رشد 100000 دلاری خواهد بود و سرمایه وی به 320714 دلار خواهد رسید.
مثال 2: از CAGR می توان برای تخمین مقداری که برای پس انداز برای یک هدف خاص باید ذخیره شود استفاده کرد. زن و شوهری که مایلند در طول 10 سال 50000 دلار پس انداز کنند، باید 4165 دلار در سال پسانداز کنند، اگر بازده سالانه (CAGR) 4 درصد را برای پسانداز خود در نظر بگیرند. اگر آنها آماده باشند کمی ریسک بیشتری بپذیرند و انتظار CAGR 5٪ را داشته باشند، باید سالانه 3975 دلار پس انداز کنند.
مثال 3: CAGR همچنین می تواند مزیت های سرمایه گذاری عمر زودهنگام را نشان دهد. اگر هدف صرفه جویی 1 میلیون دلاری با بازنشستگی در سن 65 سالگی است، بر اساس CAGR 6٪، یک فرد 25 ساله برای رسیدن به این هدف باید سالانه 6462 دلار پس انداز کند. از طرف دیگر، یک فرد 40 ساله برای رسیدن به همان هدف باید 18227 دلار یا تقریباً سه برابر آن پس انداز کند.
- نکته: CAGR ها اغلب هنگام اندازه گیری داده های اقتصادی استفاده می شوند. در اینجا یک مثال آورده شده است: تولید ناخالص داخلی سرانه چین از 193 دلار در سال 1980 به 6091 دلار در سال 2012 افزایش یافت. رشد سالانه تولید ناخالص داخلی سرانه در این دوره 32 ساله چقدر است؟ نرخ رشد “i” در این مورد 11.4٪ قابل توجه است.
مزایا و معایب بهره مرکب
گرچه معجزه بهره مرکب که داستان غیرواقعی آلبرت انیشتین را به آن منسوب کرده اند و معروف است که آن را هشتمین عجایب جهان یا بزرگترین اختراع بشر نامیده است، بهره مرکب میتواند علیه مصرفکنندگانی که وامهایی با نرخ بهره بسیار بالا دارند، مانند وام کارت اعتباری باشد. موجودی کارت اعتباری 20000 دلار با نرخ بهره 20 درصد مرکب ماهانه، منجر به سود مرکب کل 4388 دلار در طول یک سال یا حدود 365 دلار در ماه می شود.
از طرفی دیگر، بهره مرکب می تواند به نفع شما در هنگام سرمایه گذاری بوده و عاملی قوی در ایجاد ثروت باشد. رشد تصاعدی سرمایه ناشی از بهره مرکب نیز در کاهش عوامل فرساینده ثروت مانند افزایش هزینه زندگی، تورم و کاهش قدرت خرید مهم است.
صندوق های سرمایه گذاری مشترک یکی از ساده ترین راه ها را برای سرمایه گذاران ارائه می دهند تا از مزایای بهره مرکب بهره ببرند. سرمایه گذاری مجدد سود حاصل از صندوق سرمایه گذاری مشترک در خود صندوق منجر به خرید سهام بیشتر صندوق می شود. در نتیجه بهره مرکب بیشتری در طول زمان انباشته می شود و چرخه خرید سهام بیشتر به افزایش ارزش سرمایه گذاری در صندوق کمک می کند.
سرمایه گذاری در صندوق سرمایه گذاری مشترک با 5000 دلار اولیه و اضافه سالانه 2400 دلار را در نظر بگیرید. با متوسط بازده سالانه 12 درصد در 30 سال، ارزش آتی صندوق 798500 دلار خواهد بود. بهره مرکب تفاوت بین وجه نقد سرمایه گذاری و ارزش واقعی آتی سرمایه گذاری است. در این مورد، با مشارکت 77000 دلاری، یا مشارکت انباشته فقط 200 دلار در ماه، طی 30 سال، بهره مرکب 721500 دلار از موجودی آتی است.
البته، درآمد حاصل از بهره مرکب مشمول مالیات است، مگر اینکه پول در یک حساب محافظت شده مالیاتی باشد. مالیات بهره مرکب معمولاً با نرخ استاندارد مرتبط اعمال می شود.
سرمایه گذاری با بهره مرکب
سرمایهگذاری که یک طرح سرمایهگذاری مجدد سود سهام (DRIP) را در یک حساب کارگزاری انتخاب میکند، اساساً از قدرت بهره مرکب در هر چیزی که سرمایهگذاری میکند استفاده میکند.
سرمایه گذاران همچنین می توانند با خرید اوراق قرضه کوپن صفر، بهره مرکب را تجربه کنند. اوراق قرضه سنتی بر اساس شرایط انتشار اوراق، سود دورهای را برای سرمایهگذاران فراهم میکنند و چون این سود به صورت چک به سرمایهگذار پرداخت میشود، بهره مرکب نمیشود. اوراق قرضه کوپن صفر برای سرمایه گذاران چک سود ارسال نمی کند. در عوض، این نوع اوراق با یک تخفیف نسبت به ارزش اصلی خود خریداری می شوند و در طول زمان ارزش آن ها رشد می کند. ناشران اوراق قرضه کوپن صفر از قدرت بهره مرکب برای افزایش ارزش اوراق خود استفاده می کنند تا در سررسید به قیمت کامل آن برسند.
هنگام بازپرداخت وام، ترکیب کردن نیز می تواند برای شما مفید باشد. برای مثال، پرداخت نیمی از وام مسکن، دو بار در ماه، به جای پرداخت کامل یک بار در ماه، باعث کاهش دوره استهلاک شما و صرفه جویی قابل توجهی در سود شما می شود.
نحوه محاسبه سود مرکب
اگر زمان زیادی از روزهای کلاس ریاضی تان گذشته است، نگران نباشید، ابزارهای مفیدی برای محاسبه بهره مرکب وجود دارد. بسیاری از ماشین حساب ها (هم دستی و هم مبتنی بر کامپیوتر) دارای توابع توان هستند که می توانید برای این اهداف از آنها استفاده کنید.
محاسبه بهره مرکب در اکسل
میتوانید از مایکروسافت اکسل برای محاسبات ترکیبی پیچیدهتر به سه روش مختلف استفاده کنید:
- اولین راه برای محاسبه سود مرکب، ضرب کردن تراز جدید هر سال در نرخ بهره است. فرض کنید 1000 دلار به یک حساب پس انداز با نرخ بهره 5 درصد که سالانه ترکیب می شود، واریز می کنید و می خواهید موجودی را در پنج سال محاسبه کنید. در مایکروسافت اکسل، “Year” را در سلول A1 و “Balance” را در سلول B1 وارد کنید. سال های 0 تا 5 را در سلول های A2 تا A7 وارد کنید. موجودی سال 0، 1000 دلار است، بنابراین شما باید “1000” را در سلول B2 وارد کنید. سپس “B2*1.05=” را در سلول B3 وارد کنید. سپس “B3*1.05=” را در سلول B4 وارد کنید و این کار را تا رسیدن به سلول B7 ادامه دهید. در سلول B7، محاسبه “B6*1.05=” است. در نهایت، مقدار محاسبه شده در سلول B7 (1276.28) موجودی حساب پس انداز شما پس از پنج سال است. برای یافتن ارزش بهره مرکب، 1000 دلار را از 1276.28 دلار کم کنید. این به شما ارزش 276.28 دلار را می دهد.
- روش دوم برای محاسبه بهره مرکب استفاده از فرمول ثابت است. فرمول بهره مرکب (P*(1+i)^n) – P) است، که در آن P اصل سرمایه، i نرخ بهره سالانه و n تعداد دورهها است. با استفاده از همان اطلاعات بالا، “مقدار اصلی” را در سلول A1 و 1000 را در سلول B1 وارد کنید. سپس، “نرخ بهره” را در سلول A2 و “0.05” را در سلول B2 وارد کنید. «دورههای مرکب» را در سلول A3 و «5» را در سلول B3 وارد کنید. اکنون می توانید با وارد کردن
=(B1*(1+B2)^B3)-B1
سود مرکب در سلول B4 را محاسبه کنید، که 276.28 دلار را به شما می دهد.
- راه سوم برای محاسبه بهره مرکب، ایجاد یک تابع کلان است. ابتدا Visual Basic Editor را که در تب developer قرار دارد راه اندازی کنید. روی منوی Insert کلیک کنید و روی Module کلیک کنید. سپس
“Function Compound_Interest (P As Double, I As Double, N As Double) As Double” را در خط اول تایپ کنید. در خط دوم، کلید تب را بزنید و عبارت “Compound_Interest = (P*(1+i)^n) – P را تایپ کنید. در خط سوم ماژول، “End Function” را وارد کنید. شما یک تابع ماکرو برای محاسبه نرخ بهره مرکب ایجاد کرده اید. در ادامه از همان کاربرگ اکسل بالا، “Compound interest” را در سلول A6 وارد کنید و “Compound_Interest(B1, B2, B3)= را وارد کنید. این مقدار به شما 276.28 دلار می دهد که با دو مقدار اول مطابقت دارد.
چگونه می توان سود مرکب را تشخیص داد؟
قانون حقیقت در وام دهی (TILA) ایجاب می کند که وام دهندگان شرایط وام را برای وام گیرندگان بالقوه افشا کنند، از جمله کل مبلغ دلاری سودی که باید در طول عمر وام بازپرداخت شود و اینکه آیا سود ساده تعلق می گیرد یا سود مرکب.
روش دیگر مقایسه نرخ بهره وام با نرخ درصد سالانه آن (APR) است، که TILA همچنین از وام دهندگان می خواهد که آن را افشا کنند. APR هزینه های مالی وام شما را که شامل تمام سود و کارمزد می شود به یک نرخ بهره ساده تبدیل می کند. تفاوت مهم بین نرخ بهره و APR شامل یکی از این مورد است: وام شما از بهره مرکب استفاده می کند، یا شامل کارمزدهای وام سنگین علاوه بر بهره است. حتی زمانی که صحبت از همان نوع وام می شود، محدوده APR می تواند بسته به کارمزد موسسه مالی و سایر هزینه ها بین وام دهندگان بسیار متفاوت باشد.
توجه داشته باشید که نرخ بهره ای که دریافت می کنید به اعتبار شما نیز بستگی دارد. وامهایی که به وامگیرندگان با اعتبار عالی اختصاص داده می شوند، نرخ بهره بسیار پایینتری نسبت به وام گیرندگان با اعتبار ضعیف دارند.
تعریف ساده بهره مرکب چیست؟
بهره مرکب به پدیده ای اشاره دارد که در آن سود مربوط به یک حساب بانکی، یک وام یا یک سرمایه گذاری به طور تصاعدی و نه خطی، در طول زمان افزایش می یابد. کلید درک مفهوم کلمه “انباشت” است.
فرض کنید که شما یک سرمایه گذاری 100 دلاری در یک تجارت انجام می دهید که هر سال 10٪ سود سهام به شما می دهد. شما این انتخاب را دارید که آن پرداختهای سود سهام مانند پول نقد را به جیب بزنید یا آن پرداختها را دوباره در سهام اضافی سرمایهگذاری کنید. اگر گزینه دوم را انتخاب کنید، سرمایه گذاری مجدد سود سهام و ترکیب آنها با سرمایه اولیه 100 دلاری خود، بازدهی که ایجاد می کنید در طول زمان شروع به رشد می کند.
چه کسی از بهره مرکب سود می برد؟
به زبان ساده، بهره مرکب به نفع سرمایه گذاران است، اما معنای “سرمایه گذاران” می تواند بسیار گسترده باشد. به عنوان مثال، بانک ها زمانی که پول قرض می دهند و سود دریافتی خود را مجدداً برای اعطای وام های اضافی سرمایه گذاری می کنند، از سود مرکب سود می برند. سپرده گذاران همچنین هنگام دریافت سود در حساب های بانکی، اوراق قرضه یا سایر سرمایه گذاری های خود از سود مرکب سود می برند.
توجه به این نکته حائز اهمیت است که اگرچه اصطلاح “بهره مرکب” شامل کلمه “بهره” می شود، این مفهوم فراتر از موقعیت هایی که معمولاً کلمه بهره برای آنها استفاده می شود مانند حساب های بانکی و وام ها نیز کاربرد دارد.
آیا بهره مرکب می تواند شما را ثروتمند کند؟
بله. در واقع، بهره مرکب مسلماً قدرتمندترین نیرویی است که تا به حال برای تولید ثروت تصور شده است. سوابقی از بازرگانان، وام دهندگان، و تاجران مختلف وجود دارد که از بهره مرکب برای ثروتمند شدن به معنای واقعی کلمه برای هزاران سال استفاده می کرده اند. به عنوان مثال، در شهر باستانی بابل، بیش از 4000 سال پیش از لوح های گلی برای آموزش محاسبه بهره مرکب به دانش آموزان استفاده می شده است.
در دوران مدرن، وارن بافت به یکی از ثروتمندترین افراد جهان از طریق یک استراتژی تجاری تبدیل شد. وی مجدانه و صبورانه بازده سرمایه گذاری های خود را در دوره های زمانی طولانی مرکب و انباشت می کرد. بهره مرکب برای تولید ثروت در آینده ای قابل پیش بینی می تواند مورد استفاده قرار گیرد.
محک اکادمی، مرجع مقالات حوزه مالی و کسب و کار
منبع: